11 клас

Формули та їх виведення

Визначені для прямокутного трикутника тригонометричні функції дозволяють розв'язувати довільні трикутники з використанням основних теорем: теореми синусів, теореми косинусів й теореми тангенсів.

Теорема синусів

Теорема синусів стверджує, що відношення синуса кута до довжини протилежної сторони трикутника однакова для всіх кутів трикутника. Для плоского трикутника зі сторонами ${\displaystyle a,b,c}$ і відповідними протилежними до них кутами ${\displaystyle A,B,C}$ можна записати:

${\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R,}$

де ${\displaystyle R}$ — радіус описаного кола навколо трикутника.

${\displaystyle R={\frac {abc}{\sqrt {(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)}}}.}$

Теорема косинусів

За теоремою косинусів, квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін мінус подвоєний добуток цих сторін на косинус кута між ними. Для плоского трикутника зі сторонами ${\displaystyle a,b,c}$ і кутом ${\displaystyle C}$, між сторонами ${\displaystyle a,b}$:

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C,\,}$

або:

${\displaystyle \cos C={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}.\,}$

Теорема косинусів дозволяє визначити довжину третьої сторони трикутника, якщо відомі довжини двох сторін та значення кута між ними.

Теорема тангенсів

Теорема тангенсів — теорема про співвідношення між двома сторонами довільного трикутника і тангенсами півсуми й піврізниці протилежних до них кутів записується рівнянням (формула Регіомонтана):

${\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {{\mathop {\operatorname {tg} }}\left[{\tfrac {1}{2}}(A-B)\right]}{{\mathop {\operatorname {tg} }}\left[{\tfrac {1}{2}}(A+B)\right]}}}$

Площа трикутника

Площа трикутника теж може бути визначена через тригонометричні функції: вона дорівнює половині добутку прилеглих сторін на синус кута між ними:

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}ab\sin C.\,}$

Найпростіші тригонометричні рівняння

Рівняння, в яких фігурують тригонометричні функції, називають тригонометричними. Найпростіші з них мають аналітичні розв'язки, завдяки існуванню обернених тригонометричних функцій. Оскільки тригонометричні функції періодичні, такі розв'язки не єдині, а визначаються з точністю до періоду.

${\displaystyle {\begin{matrix}\sin x=a&(|a|\leq 1)&x=(-1)^{n}\arcsin a+\pi n\\\cos x=a&(|a|\leq 1)&x=\pm \arccos a+2\pi n\\{\text{tg}}\,x=a&&x={\text{arctg}}\,a+\pi n\\{\text{ctg}}\,x=a&&x={\text{arcctg}}\,a+\pi n\\\end{matrix}}}$

https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%96%D1%8F#.D0.9F.D1.80.D1.8F.D0.BC.D1.96_.D1.82.D1.80.D0.B8.D0.B3.D0.BE.D0.BD.D0.BE.D0.BC.D0.B5.D1.82.D1.80.D0.B8.D1.87.D0.BD.D1.96_.D1.84.D1.83.D0.BD.D0.BA.D1.86.D1.96.D1.97