10 клас

Властивості тригонометричних функцій

Властивості функції sin

Синус (sin)

1. Область визначення функції — множина усіх дійсних чисел: ${\displaystyle D(y)=R}$.
2. Множина значень — проміжок [−1; 1]: ${\displaystyle E(y)}$ = [−1;1].
3. Функція ${\displaystyle y=\sin \left(\alpha \right)}$ є непарною: ${\displaystyle \sin \left(-\alpha \right)=-\sin \alpha \,}$.
4. Функція є періодичною, найменший додатній період становить ${\displaystyle 2\pi }$: ${\displaystyle \sin \left(\alpha +2\pi \right)=\sin \left(\alpha \right)}$.
5. Графік функції перетинає вісь Ох при ${\displaystyle \alpha =\pi n\,,n\in Z\,}$.
6. Проміжки знакосталості: ${\displaystyle y>0}$ при ${\displaystyle \left(2\pi n+0;\pi +2\pi n\right)\,,n\in Z}$ і ${\displaystyle y<0}$ при ${\displaystyle \left(\pi +2\pi n;2\pi +2\pi n\right)\,,n\in Z}$.
7. Функція є нерозривною і має похідну при будь-якому значенні аргументу: ${\displaystyle (\sin \alpha )'=\cos \alpha \,}$
8. Функція ${\displaystyle y=\sin \alpha }$ зростає при ${\displaystyle \alpha \in \left(-{\frac {\pi }{2}}+2\pi n;{\frac {\pi }{2}}+2\pi n\right)\,,n\in Z}$, і спадає при ${\displaystyle \alpha \in \left({\frac {\pi }{2}}+2\pi n;3{\frac {\pi }{2}}+2\pi n\right)\,,n\in Z}$.
9. Функція має мінімум при ${\displaystyle \alpha =-{\frac {\pi }{2}}+2\pi n\,,n\in Z}$ і максимум при ${\displaystyle \alpha ={\frac {\pi }{2}}+2\pi n\,,n\in Z}$.

Властивості функції cos

Косинус (cos)

1. Область визначення функції — множина усіх дійсних чисел: ${\displaystyle D(y)=R}$.
2. Множина значень — проміжок [−1; 1]: ${\displaystyle E(y)}$ = [−1;1].
3. Функція ${\displaystyle y=\cos \left(\alpha \right)}$ є парною: ${\displaystyle \cos \left(-\alpha \right)=\cos \alpha \,}$.
4. Функція є періодичною, найменший додатній період дорівнює ${\displaystyle 2\pi }$: ${\displaystyle \cos \left(\alpha +2\pi \right)=\cos \left(\alpha \right)}$.
5. Графік функції перетинає вісь Ох при ${\displaystyle \alpha ={\frac {\pi }{2}}+\pi n\,,n\in Z\,}$.
6. Проміжки знакосталості: ${\displaystyle y>0}$ при ${\displaystyle \left(-{\frac {\pi }{2}}+2\pi n;{\frac {\pi }{2}}+2\pi n\right)\,,n\in Z}$ і ${\displaystyle y<0}$ при ${\displaystyle \left({\frac {\pi }{2}}+2\pi n;3{\frac {\pi }{2}}+2\pi n\right)\,,n\in Z.}$
7. Функція є нерозривною і має похідну при будь-якому значенні аргументу: ${\displaystyle (\cos \alpha )'=-\sin \alpha \,}$
8. Функція ${\displaystyle y=\cos \alpha }$ зростає при ${\displaystyle \alpha \in \left(-\pi +2\pi n;2\pi n\right)\,,n\in Z,}$ і спадає при ${\displaystyle \alpha \in \left(2\pi n;\pi +2\pi n\right)\,,n\in Z.}$
9. Функція має мінімум при ${\displaystyle \alpha =\pi +2\pi n\,,n\in Z}$ і максимум при ${\displaystyle \alpha =2\pi n\,,n\in Z.}$

Властивості функції tg

Тангенс (tg)

1. Область визначення функції — множина усіх дійсних чисел: ${\displaystyle D(y)=R}$, крім чисел ${\displaystyle \alpha ={\frac {\pi }{2}}+\pi n.}$
2. Множина значень — множина всіх дійсних чисел: ${\displaystyle E(y)=R.}$
3. Функція ${\displaystyle y=\mathrm {tg} \left(\alpha \right)}$ є непарною: ${\displaystyle \mathrm {tg} \left(-\alpha \right)=-\mathrm {tg} \ \alpha \,}$.
4. Функція є періодичною, найменший додатній період становить ${\displaystyle \pi }$: ${\displaystyle \mathrm {tg} \left(\alpha +\pi \right)=\mathrm {tg} \left(\alpha \right)}$.
5. Графік функції перетинає вісь Ох при ${\displaystyle \alpha =\pi n\,,n\in Z\,}$.
6. Проміжки знакосталості: ${\displaystyle y>0}$ при ${\displaystyle \left(\pi n;{\frac {\pi }{2}}+\pi n\right)\,,n\in Z}$ і ${\displaystyle y<0}$ при ${\displaystyle \left(-{\frac {\pi }{2}}+\pi n;\pi n\right)\,,n\in Z}$.
7. Функція є нерозривною і має похідну при будь-якому значенні аргумента з області визначення: ${\displaystyle ({\mathop {\operatorname {tg} }}\,x)'={\frac {1}{\cos ^{2}x}},}$
8. Функція ${\displaystyle y=\mathrm {tg} \ \alpha }$ зростає при ${\displaystyle \alpha \in \left(-{\frac {\pi }{2}}+\pi n;{\frac {\pi }{2}}+\pi n\right)\,,n\in Z}$.

Властивості функції ctg

Котангенс (ctg)

1. Область визначення функції — множина всіх дійсних чисел: ${\displaystyle D(y)=R,}$ крім чисел ${\displaystyle \alpha =\pi n.}$
2. Множина значень — множина всіх дійсних чисел: ${\displaystyle E(y)=R.}$
3. Функція ${\displaystyle y={\mathop {\operatorname {ctg} }}\left(\alpha \right)}$ є непарною: ${\displaystyle {\mathop {\operatorname {ctg} }}\left(-\alpha \right)=-{\mathop {\operatorname {ctg} }}\ \alpha \,.}$
4. Функція є періодичною, найменший додатній період дорівнює ${\displaystyle \pi }$: ${\displaystyle {\mathop {\operatorname {ctg} }}\left(\alpha +\pi \right)={\mathop {\operatorname {ctg} }}\left(\alpha \right).}$
5. Графік функції перетинає вісь Ох при ${\displaystyle \alpha ={\frac {\pi }{2}}+\pi n\,,n\in Z\,.}$
6. Проміжки знакосталості: ${\displaystyle y>0}$ при ${\displaystyle \left(\pi n;{\frac {\pi }{2}}+\pi n\right)\,,n\in Z}$ і ${\displaystyle y<0}$ при ${\displaystyle \left({\frac {\pi }{2}}+\pi n;\pi \left(n+1\right)\right)\,,n\in Z.}$
7. Функція є нерозривною і має похідну при будь-якому значенні аргументу з області визначення: ${\displaystyle ({\mathop {\operatorname {ctg} }}\,x)'=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}}.}$
8. Функція ${\displaystyle y={\mathop {\operatorname {ctg} }}\ \alpha }$ спадає при ${\displaystyle \alpha \in \left(\pi n;\pi \left(n+1\right)\right)\,,n\in Z.}$

https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%96%D1%8F#.D0.9F.D1.80.D1.8F.D0.BC.D1.96_.D1.82.D1.80.D0.B8.D0.B3.D0.BE.D0.BD.D0.BE.D0.BC.D0.B5.D1.82.D1.80.D0.B8.D1.87.D0.BD.D1.96_.D1.84.D1.83.D0.BD.D0.BA.D1.86.D1.96.D1.97